Задача о количестве предков

[zHz00]

Вот тут SCIPI0 предложил интересную задачу (некоторые дополнительные сведения можно почерпнуть тут: demosthenes.diary.ru/p214162034.htm ):

SCIPI0:

Задачка
Вот есть я - обычный человек. У меня есть папа и мама как у обычного человека. У каждого из моих родителей есть пара родителей как у обычных людей. Несложно продолжить этот мыслительный ряд и представить его в виде геометрической прогрессии по формуле A_n=A₁*Q^(n-1) где А₁=1, Q=2. Вопрос №1: сколько у меня было предков тысячу лет назад? Формальное решение довольно простое. Хотя есть сложность, которая заключается в том, что 1 значение n = 1 поколение. Это неточное число, т.к. средний период деторождения сейчас и тысячу лет назад отличался. Думаю данные в 25 лет будут завышены с учетом того, что по статистике в современной Европе средний возраст рождения первого ребенка 28 лет. Но для некоторой наглядности возьмем завышенный параметр где 1 значение n = 25 лет. Тогда за тысячу лет будет всего 40 поколений, далее легко применяем формулу:

A_n=A₁*Q^(n-1)

А₄₀=1*2^(40-1)

А₄₀=549 755 813 888

Или примерно 550 млрд. чел. были моими прямыми предками тысячу лет назад. Естественно возникает вопрос №2: Все эти люди должны жить примерно на одном хронологическом срезе, но это невозможно. Тогда куда делись все положенные мне предки, которые с необходимостью должны были быть, чтобы появился я? И вот еще один параметр. По подсчетам нидерландских ученых всего за историю человечества на земле было рождено 107 млрд. человек, что является неточным числом, но все же заслуживающее доверия. А математически точный расчет поколений вызывает полное недоумение.

(мои соображения)

zHz00:

Ключ в том, что некоторые из предков совпадали (в зависимости от степени родства).

Например, если поженились кузены, что большую часть человеческой истории зазорным не считалось, то хотя родителей у них будет и по двое, но бабушек-дедушек будет только шесть, а не восемь. И у их детей, соответственно, будет только шесть прабабушек-прадедушек.

Так что напрямую такой метод применять нельзя.

SCIPI0:

Допустим. Если предположить что в каждом поколении обязательно будет по одной связи кузенов, тогда Q<2 но Q>1, поскольку мы не можем избежать того, что обязательно будет 2 родителя и 4 "деда", а уже "прадедов" будет 6. Без кровосмесительства не получается иметь 3 человека поколения "дедов".

Какой будет коэффициент? Можно пойти от противного взять приблизительное число в 500 млн. чел. которые существовали к 1000 году н.э. и рассчитать уравнение, где Х возводим в 39-ю степень

500 000 000 = 1*Х³⁹
у меня приблизительно получилось
Х = 1,671285

Тогда мы выходим на число 0.5 млрд человек тысячу лет назад, что теоретически возможно, и вполне отражает теорию кузенов, но как только мы увеличиваем хронологический промежуток геометрическая прогрессия все равно растет экспоненциально, ведь можно брать отрезок и 5 000 лет и 50 000 лет - тогда тоже существовали люди. Если мы делаем Q ничтожно малым, например Q=1.01 тогда 50 000 лет назад число прямых предков будет равно 62 967 011 679, а это время уже хомо сапиенс, т.е. бактерий в "родственники" пока не записываем.

Отсюда понятно, что способ кузенов (если не допускать кровосмешения "брат - сестра", "мать - сын") не работает, поскольку число все равно остается огромным. Следовательно, решение должно быть принципиально другое.

zHz00:

Тут надо понять, чего мы хотим достичь. Понятно, что метод геометрической прогрессии не работает. Необходимо получить Q<1. Но это невозможно даже при кровосмешении, т.к. число предков в любом поколении всё равно не будет меньше двух (как и не будет меньше двух число родителей). Это Q=1. Можно говорить о Q<1 только в определённом поколении, а не вообще. И сейчас я покажу, что такой сценарий возможен.

Для этого надо подойти к задаче с другой стороны.

Раньше Q был знаменателем геометрической прогрессии. Что же такое будет Q "в определённом поколении"? Будем понимать под этим отношение совокупного количества бабушек-дедушек особей текущего поколения к совокупному количеству родителей текущего поколения. Например, у ребёнка родители -- пара кузенов. Тогда в первом поколении Q=2, т.к. у него 4 бабушки и 2 родителя. Однако количество прабабушек-прадедушек равно шести. Так что во втором поколении Q=6/4=1.5.

Начнём с того, что есть способ добиться Q=1 для любой особи начиная со второго поколения и без кровосмешения!

Пусть популяция состоит из четырёх особей -- A0, B0, E0, C0 (проявлю сексизм и постулирую, что гласными буквами я буду обозначать мужчин, а согласными -- женщин). Для определённости предположим, что A0, C0 -- брат с сестрой и B0, E0 -- аналогично. При этом родства между A0 и B0 нет, как нет родства между C0 и E0. Если обе допустимые пары будет рожать по два разнополых ребёнка, то в каждом поколении будет 4 особи из которых можно составить две пары кузенов. Вот схема:

Число родителей у каждой особи по-прежнему равно двум, однако число бабушек-дедушек и т.д. будет всегда равно четырём. В первом поколении Q=2, во втором и далее Q=1.

Теперь самый интересный вопрос -- возможен ли рост популяции без кровосмешения? Допустим, у пары A0+B0 что-то пошло не так, и они родили третьего ребёнка -- D1. Сможет ли она продолжить род, не вступая в близкородственные отношения? Если у нас моногамный строй, то нет. Однако если за этим строго не следят, она может замутить с E1, ведь они кузены:

Теперь посмотрим, какие перспективы у I2 и D2. Персональной пары они не найдут, однако A2 и C2 им подходят (дети E1 им не подходят, т.к. они являются единокровными братьями-сёстрами). Так образуется новая система из четырёх особей, которые могут воспроизводиться с Q=1 аналогично первой схеме:

Таким образом, увеличение популяции без кровосмешения возможно. А если это так, то при дальнейшем увеличении популяции в каком-нибудь поколении обязательно вылезет Q<1. Если мы отпочкуем ещё одну систему из четырёх особей -- уж точно. Мне лень это расписывать. Ведь есть и более простой способ демонстрации. Посмотрим внимательно на особь D3. Ей подходит не только O3. E3 тоже ничего. Они более дальние родственники, чем кузены. Это знаковый момент в истории популяции. Впервые у особи появляется выбор! Пусть у них будет ребёнок K4. Один, т.к. гласные буквы у меня кончились. Посчитаем её предков (я их пометил красным):

Итого:
Родителей: 2.
Бабушек-дедушек: 4. (В первом поколении Q=2)
Прабабушек-прадедушек: 5. (Во втором поколении Q=1.25)
Прапрабабушек-прапрадедушек: 4. (В третьем поколении Q=0.8)

Q<1.

Это ответ на вопрос №2: куда делись все предки.

SCIPI0:

При решении вопроса №2, вопрос №1 теряет смысл, поскольку не интересен ни с математической (много случайных и неточных данных), ни с исторической (отсутствие источников) точек зрения.

Comments

[himself]

Странный расчёт. Начиная с какой-то дальности люди перестают считать себя родственниками. Поэтому пусть у тебя 500 000 людей. Все переженились и родили по 2 ребёнка. В следующем поколении осталось 500 000 людей. Повтори так 300 раз, почему вдруг у 300-ребёнка должно быть 2^300 родителей?

Может, я не понимаю, о чём он?

[Heyzer]

You know nothing, Him Self :3

[zHz00]

himself, у тебя два родителя, 4 бабушки, 8 прабабушек, 16 прапрабабушек и т.п. Значит в 300-м поколении должно быть 2 в 300 предков. Так было бы, если бы все родственниками друг другу не были.

[himself]

zHz00, ну понятно, но это же явно первый шаг, который надо обозначать словами "наивный расчёт" и продолжать "но на самом деле, в далёких поколениях все друг другу многократные родственники".

Есть даже митохондриальная Ева и какой-то там Адам.

[himself]

Heyzer, Heyzer,

[zHz00]

himself, именно про родственников я и объясняю в своих соображениях. И именно поэтому я начал копать с другой стороны -- со стороны предков.

Для меня лично была интрига, возможно ли всё это без кровосмешения. Т.к. что с кровосмешением всё получается -- было ясно и так.